Конспект лекции №1 2 страница


k1предпочтительнее вычислять по выражению


ò о


k = M y х / cr 2 ,


(4.5)


1 x

L J

где М-символ математического ожидания.


Если

x(t), то


ô(x) -одномерная функция плотности распределения вероятности


my =


fô(x) f (x)dx;

y
00


(4.6)



k (1) = ±


cr x


{f 2 (x)ô(x)dx m2}0.5;


(4.7)



k
(2)


= 1

cr2


f(x mx) f (x)ô( x)dx;


(4.8)


x 00


здесь (1) и (2) у


k1 относятся к первому (4.4) и второму (4.5) способам вычисле-


ния


k1.

Расчеты показывают, что при выборе


k1по первому и второму способам в


корреляционной функции выходного сигнала получаются односторонние


ошибки разных знаков, поэтому в качестве


k1целесообразно использовать



(1)


(2)]/ 2.


k1= k1


+ k1


(4.9)


Совместная гармоническая и статистическая линеаризация. Часто


входной сигнал


z(t) нелинейного звена представляют суммой синусоидального


сигнала и случайной функции


x(t Конспект лекции №1 2 страница) :



о

z(t) = Asin wt + x(t) = Asin wt +m x + х(t).


(4.10)


В этом случае применяют совместную гармоническую и статистическую


линеаризацию, т.е. заменяют характеристику нелинейного звена приближенной


y(t) =


f z(t)]


y(t) �


о

f0 + 1A cos wt + 2A cos wt + х(t),


(4.11)


линейной относительно синусоидальной и центрированной случайных состав- ляющих входного сигнала.


При нечетной характеристике


y = f (z)



f0= 0mx.


(4.12)



Значения


0 ,1,2


и можно определить различными способами из усло-


вия правильного учета передачи нелинейным звеном полезного сигнала, пер- вой гармоники и уровня флюктуации входного сигнала.


Предположим, что mx


и cr 2 изменяются достаточно медленно и их можно


x
считать постоянными хотя бы в пределах одного периода синусоидального ко Конспект лекции №1 2 страница- лебания входного сигнала. Изложенным выше способом проведем статистиче- скую линеаризацию, в результате которой получим


y(t) �


о

f
*
0 + k1х(t).


(4.13)


f
и
*
Из-за наличия периодической составляющей в математическом ожидании


входного сигнала значения


0 k1оказываются периодическими функциями


времени, следовательно к ним можно применить гармоническую линеаризацию


*
*
f0 =


f0(mx+ Asin wt ,cr x ) �


f0( A, mxcr x ) +1( A, mx,cr x ) Asin wt + 2( A, mx,cr x ) Acos wt ,


(4.14)



где


1 2ï


*
f0( A, mx,cr x ) =


f f0(mx+ Asin,cr x )d


(4.15)


1 2ï


*
1( A, mx,cr x ) = ïAf f0(mx+ Asin,cr x ) sin d


(4.16)


1 2ï


*
2( A, mx,cr x ) = ïAf f0(mx + Asin,cr Конспект лекции №1 2 страница x ) cos d


(4.17)



k = ( A, m ,cr ) � 1

1 x x 2ï


fk1(mx + Asin,cr x )d


(4.18)


= COt


Если известна


ô(x)


- одномерная функция плотности распределения ве-


роятности, то на основании предыдущего раздела о статистической линеариза- ции имеем


00


f * =


f f (x + Asin)ô (x)dx;

0.5 00


(4.19)

l


k = 1k(1) +k(2) ]= 1 1


ò

cr 1 f f 2(m


+ Аsin)ô(x)dx ( f *)2


1 1

+

J
у
f(x m ) f (x + Asin)ô(x)


(4.20)


1 2 1 1


í±

21l


x x

L 00


0 cr2


x


dx

1J


Основная литература:1 [210 - 220].

Дополнительная литература:1 [365 - 414].

Контрольные вопросы:

1. Метод гармонического баланса.

2. Гармонические коэффициенты передачи некоторых нелинейных элементов.

3. Изменение входной величины нелинейного элемента

Конспект лекции 5


Тема лекции: 5. Исследование нелинейных систем. Метод гармонического баланса и статистической линеаризации



Метод гармонического балансапозволяет оценить устойчивость нели- нейных систем Конспект лекции №1 2 страница, определить амплитуду и частоту автоколебаний, а также вы- брать корректирующие цепи, обеспечивающие заданные характеристики нели- нейных систем. Возможность применения этого метода к стационарным систе- мам определяется близостью периодического движения системы к гармониче- скому. Это условие обычно удовлетворяется, когда линейные части системы являются фильтрами низких частот, т.е. хорошо отфильтровывают высокие гармоники.

Предположим, что нелинейная система состоит из линейной части с ком-


плексной частотной функцией


Wë( jCO)


и нелинейного безынерционного звена с


комплексным гармоническим коэффициентом усиления


Wí ( A) . Пусть в этой


системе возникли автоколебания с частотой COaи амплитудой критерию Найквиста


Aa, тогда согласно


Wл( jCO)Wн ( A) = 1, (5.1)


или, обозначив


н
л
M ( jCO) = W 1 ( A),


(5.2)


условия возникновения автоколебаний запишем Конспект лекции №1 2 страница в виде


M л ( jCO) = Wн( jCO).


(5.3)



Для определения частоты


COа


и амплитуды


Аа автоколебаний решение


(5.3) удобно проводить графически. Для этого построим (рисунок 5.3, а) в ком-


плексной плоскости


Wл( jCO) и


- M н ( A) . если они пересекаются, то в системе


возможны автоколебанбия, если не пересекаются, то автоколебания невозмож-


ны. Параметры автоколебаний


COa и


Аа определяются точкой пересечения


Wл( jCO)


и M н ( A) : COапо Wл( jCO) и


Аа по


- M н ( A) .


Если


Wл( jCO)


и M н ( A) пересекаются в нескольких о то как рисунок 5.2 б,


то это свидетельствует, что в системе возможны автоколебания с различными


параметрами


(CO и


A) .


Определение устойчивости автоколебаний производится по следующему


правилу: если Wл( jCO)


при изменении CO Конспект лекции №1 2 страница от 0 до 00 охватывает часть


- M н ( A) ,


соответствующую увеличению амплитуды, от автоколебания неустойчивые, в неустойчивые, в противном случае- устойчивые.


Рисунок 5.1. Графический метод определения параметров автоколебаний в не- линейной систем

Руководствуясь этим правилом, можно заключить, что из трех автоколе- баний на рисунке 5.1, а и б устойчивым будут только автоколебания в первой


точке на рисунке 5.1, б с параметрами COa1и


Aa1.


Метод статистической линеаризации.Рассмотрим нелинейную систе- му, изображенную на рисунке 5.2, где <ð - нелинейное звено с характеристикой

z = <ð ( y) , (5.4)


W ( p) - передаточной функция линейной части системы.

На вход АСР поступает стационарный случайный процесс


x(t)


с ма-


тематическим ожиданием


mx и дисперсией


cr x . Необходимо определить харак-


теристики выходного сигнала

cr x Конспект лекции №1 2 страница .


y(t) : математическое ожидание my


и дисперсию


(5.4)


Произведем статистическую линеаризацию нелинейной характеристики

z(t) = k0my+ k1y(t) , (5.5)



где коэффициенты


k0 и


k1 в общем случае являются известными функциями


пока неизвестных величин


myи cr y :



k0= k0(my,cr y );


k1= k1(my,cr y );


(5.6)


Таким образом, в результате статистической линеаризации нелинейное звено заменяется безынерционным усилителем с различными коэффициентами


усиления полезного сигнала


myи помехи


y (t) . Передаточные функции линеа-


ризованной системы для полезного сигнала и помехи имеют вид


Ф
(0)

y


( p) = W ( p) / 1 + k0W ( p)];


(5.7)


Ф
(1)

y


( p) = W ( p) / 1 + k1W ( p)].


(5.8)



С использованием (5.7) при


mx = const



m = m W(0)/ 1+k (m ,cr


)W(0)].


(5.10)


y x 0 y y


Уравнение (5.10) содержит две неизвестные Конспект лекции №1 2 страница величины


(my


и cr y ) и


поэтому может быть решено только совместно с уравнением, определяющим дисперсию выходной величины,


y
cr 2 = 1


f S x


ò

(CO)


W ( jCO)


dCO,


(5.11)


2ï 00


L1 + k1 (my ,cr y )W ( jCO) J


х + W ( p) y

–z

Woc( p)

Рисунок 5.2. Нелинейная АСР


где


S x (CO)


спектральная плотность


x(t) .


Уравнения (5.10) и (5.11) могут быть решены совместно методом последовательных приближений. Для этого необходимо задать исходные


приближенные значения


k0 и


k1и вычислить в первом приближении


myи


cr y по


(5.10) и (5.11). После этого можно уточнить значения


k0 и


k1и вычислить


myи


cr y


во втором приближении и т.д.

Уравнения (5.10) и (5.11) можно решить графическим методом. Для этого


заменим (5.10) равноценной системой уравнений


= my;


(5.12)



= mxW (0) /[1 + k0(my,cr y )W (0)].


(5.13)


Уравнению (5.12) соответствует Конспект лекции №1 2 страница биссектриса координатного угла на


рисунке 5.3, a в координатах


my; в этих же координатах уравнению (5.13)


соответствует семейство кривых с параметром


cr y , построив кривые, соответст-


вующие (5.13) для ряда значений


cr y


и определив точки пересечения их с пря-


мой (5.12), найдем значения


myi, соответствующие


cr y


выбранным значениям


cr yi . После этого по найденным точкам построим кривую 1 (рисунок 5.3, б) в


координатах


mycr y . В этих же координатах построим кривую 2 по уравнению


(5.11). Точка А пересечения кривых 1 и 2 дает искомое решение.

Изложенный метод применим только к системам, где невозможны авто-


колебания, так как только при их отсутствии


myможет быть постоянной вели-


чиной при постоянном


mx. Поэтому прежде чем применять изложенный метод,


необходимо исследовать систему на возможность возникновения в Конспект лекции №1 2 страница ней автоко- лебаний, что можно сделать методом гармонического баланса. Если исследова- ние покажет, что в системе возможны устойчивые автоколебания, то для опре- деления ее точности необходимо применять метод совместной статической и гармонической линеаризации.

а) б)

Рисунок 5.3. Графическое решение уравнений (5.10) и (5.11)

Основная литература:1 [210-220].

Дополнительная литература:1 [365-414].

Контрольные вопросы:

1. Статистическая характеристика нелинейного элемента.

2. Математическое ожидание нелинейной функции.

3. Расчет нелинейных систем методом статистической линеаризации.

Конспект лекции № 6

Тема лекции: 6 Метод фазовых траекторий

Метод фазовых траекторий.Состояние динамической системы, описы-


ваемое дифференциальными уравнениями


n го порядка, в каждый момент


времени определяется значениями регулируемой величины и


(n 1)


ее произ-


водных. Это дает возможность представить в некотором


n мерном простран-


стве Конспект лекции №1 2 страница состояние системы в каждый момент времени отдельной точкой- так назы- ваемой изображающей точкой. Процесс изменения состояния системы пред- ставляется как некоторое движение изображающей точки, точнее – как ее тра- ектория, так называемая фазовая траектория. Совокупность фазовых траекто- рий составляет фазовую картину системы (фазовый портрет системы).

Для практических расчетов пользование многомерным фазовым про- странством связано с определенными трудностями, поэтому при анализе нели- нейных систем обычно ограничиваются двухмерной фазовой плоскостью. В этом случае по оси абсцисс откладывают значение регулируемой величины у


(ее отклонение от установившегося состояния), а по оси ординат – значение

z = dy / dt.

Состояние АСР, описываемое управлением не выше второго порядка, в каждый момент времени Конспект лекции №1 2 страница определяется значениями y и z и может быть охарак- теризовано положением точки M на фазовой плоскости (рисунок 6.1). в пере- ходном процессе значения y и z будут изменяться и, следовательно, изобра- жающая точка M будут занимать различные положения на фазовой плоскости. По траектории этой точки можно судить о характере переходного процесса.

Если y - отклонение регулируемого параметра от установившегося зна-


чения, то для устойчивых систем в установившемся состоянии


y = 0 и


z = 0,


следовательно, фазовые траектории устойчивой АСР при


t í 00 должны стре-


миться к началу координат, а фазовые траектории неустойчивой АСР при t í 00 должны удаляться от начала координат. Точки фазовой плоскости, где сходится (или Конспект лекции №1 2 страница откуда расходятся) фазовые траектории, называется особыми точками.

Рисунок 6.1. Характеристики состояния динамической системы:


а во временной области; б


на фазовой плоскости


В параметрической форме фазовые траектории описываются системой уравнений


dy dt = P(y,z):l

J
dz dt = Q( y, z),


(6.1)



где


P( y, z)


и Q( y, z) нелинейные функции y и z .


Разделив второе уравнение системы (6.1) на первое, получим дифферен- циальное уравнение фазовой траектории.


dz dy = Q( y, z) / P( y, z) = H ( y, z).


(6.2)


Разделив переменные и проинтегрировав (6.2) получим выражения для семейства фазовых траекторий. Для определения устойчивости АСР следует рассматривать поведение фазовых траекторий в окрестностях особых точек (в данном случае – в Конспект лекции №1 2 страница окрестности начала координат). Для этой цели линеаризуем систему уравнений (6.1), т.е. разложим их в ряд Маклорена, и ограничимся двумя первыми членами, в результате получим


dy dt = ay + bz;


(6.3)


dy dt = cy + bz , (6.4)


где


a = äP


äy;


b = äP


äz;


c = äQ


äy;


d = äQ


äy;


при


y = z = 0.


Решив (6.3) и (6.4) относительно y , получим линеаризованное уравнение движения системы в окрестностях особой точки:

y ,,(a + b) y , + (ad bc) y = 0 . (6.5)

Поведение системы в окрестностях особой точки определяется корнями характеристического уравнения


p 2 (a + b) p + (ad bc) = 0


(6.6)



Например. если корни уравнения мнимые, т.е.


p1.2= ± jCO, то



y(t) = A cosCOt;


(6.7)



z(t) = y(t) = ACO sin COt.


(6.8)


Возведя в квадрат (6.7) и (6.8) и Конспект лекции №1 2 страница сложив, получим уравнение фазовых тра- екторий в виде


y 2 / A2+ z 2 / A2CO 2 = 1.


(6.9)


Это – уравнение эллипса. Переходной процесс и фазовая траектория для этого случая изображены на рисунок 6.2. особой точкой, которая носит название центр, здесь является начало координат.


Отметим, что незатухающим колебаниям


y(t)


(автоколебаниям) на фазо-


вой плоскости соответствуют фазовые траектории в виде эллипсов; другим словами, наличие замкнутых фазовых траектории на фазовой плоскости свиде- тельствует о возможности возникновения автоколебаний в АСР.

Различные случаи особых точек, их названия, соответствующие им пере- ходные процессы и фазовые траектории приведены в таблица 6.1, где 1-3- раз- личные переходные процессы и соответствующие им фазовые траектории на фазовой плоскости Конспект лекции №1 2 страница.

Приведенные в талблица 6.1 фазовые траектории справедливы только


для определенной области


y z , в которой допустима линеаризации системы


уравнений (6.1). За пределами этой области в силу существенного отхода от линейных соотношений в исходных временных уравнениях фазовые траекто- рии будут иметь качественно иной характер. Для тех нелинейных АСР, у кото-


рых статистические характеристики нелинейных звеньев могут быть разбиты на линейные участки, можно построить фазовые траектории отдельно для каж- дого линейного участка, а затем соединить (припасовать) их друг с другом.

a) б)

Рисунок 6.2. Переходный процесс ( а ) и фазовая траектория

( б ) для автоколебаний

Рисунок 6.3 – Построение фазовых траекторий методом изоклин


Таблица 2.1


Особые точки


Название Переходный Фазовые траектории
Устойчивый фокус
Неустойчивый фокус Конспект лекции №1 2 страница
Устойчивый узел
Неустойчивый узел
Седло

Основная литература:3 [324-348].

Дополнительная литература:1 [365-414].

Контрольные вопросы:

1. Основные понятия о фазовой плоскости.

2. Что такое фазовая плоскость?

3. Что такое фазовая траектория?

4. Что такое фазовое пространство?

Конспект лекции №7

Тема лекции: 7 Построение фазовых траектории методом изоклин предель- ные циклы


documentatyyvpx.html
documentatyzdaf.html
documentatyzkkn.html
documentatyzruv.html
documentatyzzfd.html
Документ Конспект лекции №1 2 страница